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Parce que « donner sa langue au chat » veut dire abandonner l’espoir de trouver la réponse et la confier à quelqu’un d’autre.
L’expression « donner sa langue au chat » apparaît au XIXe siècle. Avant cela, on disait « donner sa langue aux chiens », c’est-à-dire renoncer à parler ou à deviner et laisser sa langue être mangée (au sens figuré) par les chiens.
Le chat a remplacé le chien, probablement parce qu’il est vu comme un animal mystérieux, silencieux et observateur — parfait pour garder un secret. Lorsque quelqu’un « donne sa langue au chat », il admet son impuissance et attend la réponse de l’énigme, comme si le chat, détenteur du secret, pouvait la révéler.
Dans d’autres langues, on ne fait pas appel au chat : en anglais, on dit « I give up » (« j’abandonne »), sans animal !