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Pi est considéré comme un nombre “transcendant” car il ne peut être solution d’aucune équation à coefficients entiers.
Un nombre “transcendant” va plus loin qu’un simple nombre irrationnel : il ne peut pas être obtenu par une formule algébrique (du type : ax² + bx + c = 0, etc.), même en cherchant toutes les combinaisons possibles avec des entiers.
En 1882, le mathématicien Lindemann a prouvé que pi ne peut pas être “construit” avec une suite finie d’opérations algébriques. Cela le rend encore plus insaisissable que des nombres comme √2 ou la racine cubique de 5, qui eux, ne sont “que” irrationnels mais pas transcendants.
En résumé : il n’existe aucune équation polynomiale à coefficients entiers dont pi serait la solution. C’est pour cela qu’on le qualifie de transcendant.
À cause du caractère transcendant de pi, il est impossible de “tracer” exactement un cercle de même aire qu’un carré avec une règle et un compas : c’est le fameux problème de la “quadrature du cercle” !